Zadania. Liczby zespolone z odpowiedziami, Studia, Stopień 2 Semestr II, Zespolona, Analiza zespolona (aivliska)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
LICZBY ZESPOLONE
- zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż
Re(
w
oraz
)
Im(
w
)
4
i
(
−
16
i
)
−
(
+
i
)
2
2
64
2
64
(a)
w
=
=
−
i
⇒
Re( =
w
oraz
Im( −
w
)
=
(
i
+
2
)(
2
i
+
1
5
5
5
5
(b)
w
=
135
i
=
−
i
⇒
Re( =
w
oraz
0
Im( −
w
)
=
1
(
−
i
)
2
i
1
1
(c)
w
=
=
=
i
⇒
Re( =
w
oraz
0
Im( =
w
)
(
−
2
+
2
i
)
2
i
63
4
4
4
Zadanie 2
Znaleźć postać trygonometryczną:
(a)
z
=
−
2
⇒
|
z
|
= ,
2
ϕ=
π
⇒
(
z
=
2
cos
π sin
+
i
π
)
(b)
z
5
=
i
⇒
|
z
|
=
5
ϕ
=
1
π
⇒
z
=
5

cos
1
π
+
i
sin
1
π

2
2
2
(c)
z
−
=
2
i
12
⇒
|
z
|
=
4
ϕ
=
5
π
⇒
z
=
4

cos
5
π
+
i
sin
5
π

3
3
3
(d)
z
=
−
2 +
2
i
⇒
|
z
|
=
2
2
,
ϕ
=
3
π
⇒
z
=
2
2

cos
3
π
+
i
sin
3
π

4
4
4
Zadanie 3
Niech
z
1
=
−
2
3
+
2
j
,
z
8
2
=
,
−
j
z
3
= 3
−
−
j
Oblicz:
(a)
z
1
⋅
z
2
=
16
+
16
3
⋅
i
(b)
z
1
⋅
z
3
=
8
(c)
z
1
=
−
1
−
3
i
z
4
4
2
(d)
z
1
= 3
1
−
⋅
i
z
3
(e)
z
12
1
=
4
12
z
12
1
(f)
1
=
i
z
99
2
75
3
(g)
3
z
:
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
z
=
4

cos
5
π
+
i
sin
5
π

.
1
1
6
6
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
1
są 3 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
3
4

cos
5
π
+
i
sin
5
π

0
18
18
ω
=
3
4

cos
17
π
+
i
sin
17
π

1
18
18
)
)
)












Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
ω
=
3
4

cos
29
π
+
i
sin
29
π

2
18
18
(h)
3
z
:
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
z
=
8

cos
3
π
+
i
sin
3
π

.
2
2
2
2
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z
2
są 3 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
2

cos
1
π
+
i
sin
1
π

=
2
i
0
2
2
ω
=
2

cos
7
π
+
i
sin
7
π

=
−
3
−
i
1
6
6
ω
=
2

cos
11
π
+
i
sin
11
π

=
3
−
i
2
6
6
(i)
3
1
i
−
:
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej:
z
=
2

cos
7
π
+
i
sin
7
π

.
4
4
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
z
−
=1
są 3 i wyrażają się wzorami
i
ω
0
, ω
ω
1
,
2
ω
=
3
2

cos
7
π
+
i
sin
7
π

=
6
2

cos
7
π
+
i
sin
7
π

0
12
12
12
12
ω
=
3
2

cos
15
π
+
i
sin
15
π

=
6
2

cos
15
π
+
i
sin
15
π

1
12
12
12
12
ω
=
3
2

cos
23
π
+
i
sin
23
π

=
6
2

cos
23
π
+
i
sin
23
π

2
12
12
12
12
(j)
4
−
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
(
1
z
=
cos
i
π sin
+
π
)
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby
−
z
=
są 4 i wyrażają się wzorami
ω
0
, ω
ω
1
,
ω
2
,
3
ω
=

cos
1
π
+
i
sin
1
π

=
2
+
2
⋅
i
0
4
4
ω
=

cos
3
π
+
i
sin
3
π

=
−
2
+
2
⋅
i
1
4
4
ω
=

cos
5
π
+
i
sin
5
π

=
−
2
−
2
⋅
i
2
4
4
ω
=

cos
7
π
+
i
sin
7
π

=
2
−
2
⋅
i
3
4
4
(k)
3
8
:
postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej
(
z
=
8
cos
0
+
i
sin
0
)
. Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby
8
z
są 3 i wyrażają się wzorami
=
ω
0
, ω
ω
1
,
2
(
)
2
ω
0
=
2
cos
0
+
i
sin
0
=
ω
=
2

cos
2
π
+
i
sin
2
π

=
−
1
+
3
⋅
i
1
3
3


































Liczby zespolone
mgr Grzegorz Kusztelak
ω
=
2

cos
4
π
+
i
sin
4
π

=
−
1
−
3
⋅
i
2
3
3
(l)
7 −
:
Pierwiastki drugiego stopnia z liczby
24
i
7 −
są 2 i wyrażają się wzorami
24
i
ω
0
, ω
1
ω
0
=
4
−
3
ω
1
=
−
4
+
3
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a)
x
2
+
9
=
0
⇒
x
=
−
3 =
∨
x
3
i
(b)
x
2
+
5
=
0
⇒
x
=
−
5
⋅
i
∨
x
=
5
⋅
i
(c)
x
2
−
25
=
0
⇒
x
=
−
5 =
∨
x
5
(d)
x
2
−
x
2
+
5
=
0
⇒
x
=
1
−
2
i
∨
x
=
1
+
2
i
(e)
x
2
−
x
6
+
13
=
0
⇒
x
=
3
−
2
i
∨
x
=
3
+
2
i
(f)
x
2
+
x
−
2
=
0
⇒
x
=
−
2 =
∨
x
1
(g)
x
2
−
(
2
−
j
)
x
−
1
+
5
j
=
0
⇒
x
=
3
−
2
i
∨
x
=
−
1
+
i
Zadanie 5
Znaleźć na płaszczyźnie zespolonej zbiór punktów:
{
=
z
∈
C
:|
z
−
3
+
2
i
|
=
4
-
okrąg o środku w punkcie
z
0
−=
oraz promieniu
4
3
2
i
r
=
{
2
B
=
z
∈
C
:|
z
+
1
−
3
i
|
=
- okrąg o środku w punkcie
z
0
=
−
1
+
3
i
oraz promieniu
2
r
=
{
2
D
=
z
∈
C
:
1
<
|
z
+
3
i
|
<
-
pierścień o środku w punkcie
z
3
0
−=
i odpowiednio zewnętrznym
i
promieniu
2
=
R
oraz wewnętrznym promieniu
1
r
=
{
|
E
=
z
∈
C
:|
z
+
2
−
3
i
|
=
|
z
−
2
+
i
-
linia prosta o równaniu
y
=
x
+
1
{
4
F
=
z
∈
C
:
Im(
z
−
3
+
2
j
)
>
- półpłaszczyzna
2
y
>
{
2
G
=
z
∈
C
:
Re(
z
+
3
j
)
<
- półpłaszczyzna
2
x
<
H
=
{
z
∈
C
:
Re(
z
2
+
2
j
)
≥
6
-
podzbiór płaszczyzny opisany wzorem
x
2
−
y
2
≥
6
|
0
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów
z
i
2
z
(
z
i
2
z
- dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)
Odp.:
zz
=
− |
R
|
z
−
z
1
|
=
|
z
−
z
2
|


i
A
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie
z
i promieniu
R.
Odp.:
[ Pobierz całość w formacie PDF ]