zadania z matematyki granice itd, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Spistre±ci
Spistre±ci
2
1Algebra
3
1.1Liczbyzespolone
................................................. 3
1.2Liczbyzespolone-odpowiedzi
.......................................... 5
1.3Macierze
...................................................... 8
1.4Macierze-odpowiedzi
.............................................. 10
1.5Układyrówna«
.................................................. 12
1.6Układyrówna«-odpowiedzi
.......................................... 13
1.7Geometriaanalityczna
.............................................. 15
2Funkcjejednejzmiennej
16
2.1Graniceci¡gów
.................................................. 16
2.2Graniceci¡gów-odpowiedzi
.......................................... 17
2.3Granicefunkcji
.................................................. 18
2.4Granicefunkcji-odpowiedzi
.......................................... 19
2.5Ci¡gło±¢funkcji
.................................................. 20
2.6Pochodne
..................................................... 21
2.7Pochodne-odpowiedzi
.............................................. 22
2.8ReguładeL’Hospitala
.............................................. 23
2.9Przebiegzmienno±cifunkcji
........................................... 24
2.10Przebiegzmienno±cifunkcji-odpowiedzi
.................................... 25
2.11Całkinieoznaczone
................................................ 28
2.12Całkinieoznaczone-odpowiedzi
........................................ 30
2.13Całkioznaczone
.................................................. 32
2.14Całkioznaczone-odpowiedzi
.......................................... 33
3Funkcjewieluzmiennych
34
3.1Pochodnecz¡stkowe
............................................... 34
3.2Całkipodwójne
.................................................. 35
3.3Całkipodwójne-odpowiedzi
.......................................... 37
3.4Całkipotrójne
.................................................. 38
4Teoriapola
39
4.1Gradient,rotacja,dywergencja
......................................... 39
4.2Całkikrzywoliniowe
............................................... 40
4.2.1Nieskierowana
.............................................. 40
4.2.2Skierowana
................................................ 40
4.3Całkikrzywoliniowe-odpowiedzi
........................................ 40
4.3.1Nieskierowana-odpowiedzi
....................................... 40
4.3.2Skierowana-odpowiedzi
......................................... 40
4.4Całkipowierzchniowe
.............................................. 41
5Równaniaró»niczkowe
42
5.1Równaniarz¦duI-go
............................................... 42
5.2Równaniarz¦duI-go-odpowiedzi
....................................... 45
5.3Równaniawy»szychrz¦dów
........................................... 47
5.4Równaniawy»szychrz¦dów-odpowiedzi
.................................... 49
5.5Układyrówna«ró»niczkowych
......................................... 51
5.6Układyrówna«ró»niczkowych-odpowiedzi
.................................. 51
PolitechnikaSzczeci«ska
1
12pa¹dziernika2008-20:24
SPISTRECI
SPISTRECI
6Szeregi
52
6.1Szeregiliczbowe
.................................................. 52
6.2Szeregiliczbowe-odpowiedzi
.......................................... 53
6.3Szeregifunkcyjne
................................................. 54
7Funkcjezespolone
55
PolitechnikaSzczeci«ska
2
12pa¹dziernika2008-20:24
Algebra
Liczbyzespolone
Zad1.
Oblicz:
(a)
i
2
;
(b)
i
3
;
(c)
i
4
;
(d)
i
5
;
(e)
i
22
;
(f)
i
89
;
(g)
i
2007
;
(h)
i
1
;
(i)
i
2
;
(j)
i
3
;
(k)
i
4
;
(l)
i
129
;
(m)
i
75
;
(n)
i
2008
;
Zad2.
Wykonajdziałania;wynikzapiszwpostacialgebraicznej:
(a)
2+
1
4
i
(5+i);
(b)
1
2
+
p
2
2
i
1
2
2
i
;
(c)
1
4
+i
2
;
(d)
1
2
+
p
3
3
;
(e)
1
2
+
2
3
i
4
;
(f)
4+i
12i
;
2i5
;
(h)
(3+2i)
2
4i3
;
(i)
(5i)(3i)
(4+i)(i2)
(j)
(2+3i)(1+i)
(1i)(2+i)
;
Zad3.
Obliczpierwiastekkwadratowyzliczby:
(a)
z=i;
(b)
z=8i;
(c)
z=1+i;
(d)
z=3+4i;
(e)
z=16+30i;
(f)
z=
1
2
+
p
3
2
i;
Zad4.
Znale¹¢x;y 2Rspełniaj¡cerównanie:
x2i
=3i1;
(c)
(2+yi)(x3i)=7i;
(d)
x(2+3i)+y(52i)=8+7i;
(e)
x
23i
+
y
3+2i
=1;
(f)
x(43i)
2
+y(1+i)
2
=712i;
Zad5.
Rozwi¡za¢wzbiorzeliczbzespolonychrównanie:
(a)
z
2
z+1=0;
(b)
z
2
+4z+5=0;
(c)
(i3)z=5+iz;
(d)
13i
3z+2i
=
2i3
52iz
;
2z+1
;
(g)
z
3
6iz
2
12z+8i=0;
(h)
z
4
+3z
2
4=0;
(i)
4z
3
4z
2
+z1=0;
(j)
z
4
+81=0;
(k)
z
6
1=0;
(l)
z
4
(18+4i)z
2
+7736i=0;
(m)
z
4
10z
2
20z16=0;
(n)
z
3
4z
2
+6z4=0;
(o)
z
5
3z
4
+2z
3
6z
2
+z3=0;
(p)
(3+i)z
2
+(1i)z6i=0;
z1+4i
=
1i
Zad6.
Obliczy¢:
(a)
j4+3ij;
(b)
j
p
32ij;
(c)
j14+ij;
(d)
j(2i+3)(1i)j;
(e)
p
2
2
p
3
2
i
p
2
2
i
;
p
p
(f)
j
1+i
23i
j;
(g)
arg(5+5i);
(h)
arg(3+3
3i);
(i)
arg(8
38i);
(j)
arg(25i)
1
2
p
3
2
i
p
p
3
p
2
2
1
2
(k)
arg
p
;
(l)
arg
2
1
2
i
2
i
;
(m)
(2i1)
p
3
2
i
;
(n)
1+3i;
2
2
2
2
i
(o)
i1;
(p)
1+i
32i
;
Zad7.
Udowodni¢»edladowolnychz
1
;z
2
2Czachodzi:
=
z
1
z
2
;
(e)
zz=jzj
2
;
(f)
arg(z)=2arg(z);
(g)
arg
1
z
=2arg(z);
(h)
jz
1
+z
2
j
2
+jz
1
z
2
j
2
=2
jz
1
j
2
+jz
2
j
2
;
z
1
z
2
=
jz
1
j
jz
2
j
;
(c)
z
1
z
2
=z
1
z
2
;
(d)
z
1
z
2
Zad8.
Rozwi¡za¢wzbiorzeliczbzespolonychrównanie:
(a)
z
2
+3z=0;
(b)
2z+(1+i)z=13i;
(c)
(z+2)
2
=(z+2)
2
;
(d)
z+iz+i=0;
PolitechnikaSzczeci«ska
3
12pa¹dziernika2008-20:24
p
2
2
i
(g)
2+i
(a)
x(2+3i)+y(45i)=62i;
(b)
1+yi
(e)
z
2
4z+13=0;
(f)
2+i
1
2
p
2
(a)
jz
1
z
2
j=jz
1
jjz
2
j;
(b)
ALGEBRA
LICZBYZESPOLONE
Zad9.
Zapisa¢wpostacialgebraicznejliczby:
(a)
3(cos+isin);
(b)
2
3
cos(
3
)+isin(
3
)
;
(c)
2
cos(
7
6
)+isin(
7
6
)
;
(d)
cos(
3
4
)+isin(
3
4
);
(e)
cos(
4
)+isin(
4
);
(f)
cos(7
2
3
)+isin(7
2
3
);
(g)
cos(3
5
6
)+isin(3
5
6
);
Zad10.
Zapisa¢wpostacitrygonometrycznejliczby:
(a)
i;
(b)
1i;
(c)
1+i
p
3;
(d)
1
p
3
;
(e)
p
3i;
(f)
1
2
+
2
i;
(g)
9
p
39i;
(h)
sin()+icos();
(i)
cos()+isin();
(j)
1+itg();
Uwaga.
Wostatnichpodpunktachprzyjmujemy 2(0;
2
).
Zad11.
Obliczy¢:
(a)
p
2
2
+i
p
2
2
12
;
(b)
(1+i)
4
;
(c)
p
2i
p
2
7
;
(d)
1+i
p
3
12
12
;
(e)
(1+i)
9
(1i)
7
;
(f)
(1i)
5
1
(1+i)
5
+1
;
1+i
p
3
1i
20
1i
p
3
2
2007
(g)
;
(h)
;
(i)
(1+i
p
3)
15
(1+i)
10
;
(j)
(1i
p
3)
6
(1+i
p
3)
4
+(1+i)(3i);
(k)
(1i)
6
(1+i)
4
i
74
;
Zad12.
Obliczy¢:
(a)
3
p
i;
(b)
6
p
1;
(c)
5
p
1;
(d)
3
p
27i;
(e)
3
p
(1+i)
3
;
(f)
3
p
8;
(g)
p
8i15;
(h)
3
p
22i;
(1+i)
4
i
74
.
(j)
4
q
p
(i)
4
p
z; gdzie z=
(1i)
6
(
p
3+i)
3i
12
;
Zad13.
Zaznaczy¢napłaszczy¹niezespolonejliczby:
(a)
p
2i;
(b)
4
p
88i
p
3;
(c)
6
p
1;
Zad14.
Korzystaj¡czewzoruMoivre’awyrazi¢zapomoc¡sinxorazcosxfunkcje:
(a)
sin(3x)orazcos(3x);
(b)
sin(4x)orazcos(4x);
(c)
sin(5x)orazcos(5x);
Zad15.
Narysowa¢napłaszczy¹niezespolonejobszaryokre±lonewarunkami:
(a)
jz1+ij=1;
(b)
2< jz1j4;
(c)
jzj
jz1j
=2;
(d)
jzj <2^arg(z)2h0;i;
(e)
jzj
2
=2jzj;
z+2
z2
>
p
(f)
zz+z+z=0;
(g)
3;
(h)
4
z
z^arg(z)2h
6
;
3
i;
(i)
zi=z1;
Zad16.
Zamieni¢posta¢wykładnicz¡naalgebraiczn¡:
(a)
e
i
;
(b)
e
1+
2
i
;
(c)
e
2i
;
(d)
e
i
;
(e)
e
2i
;
(f)
e
1
3
4
i
(g)
e
2+
2
3
i
(h)
e
1
7
6
i
Zad17.
Zamieni¢posta¢algebraiczn¡nawykładnicz¡:
(a)
1;
(b)
1+i;
(c)
i;
(d)
1
p
3i;
(e)
2+7i;
(f)
35i;
PolitechnikaSzczeci«ska
4
12pa¹dziernika2008-20:24
p
3
 ALGEBRA LICZBYZESPOLONE-ODPOWIEDZI
Liczbyzespolone-odpowiedzi
Zad1.
(a)
1;
(b)
i;
(c)
1;
(d)
i;
(e)
1;
(f)
i;
(g)
i;
(h)
i;
(i)
1;
(j)
i;
(k)
1;
(l)
i;
(m)
i;
(n)
1;
Zad2.
(a)
39
4
+
13
4
i;
(b)
3
4
;
(c)
i
2
15
16
;
(d)
1;
(e)
7
27
i
527
1296
;
(f)
2
5
+
9
5
i;
(g)
8
29
9
29
i;
(h)
33
25
56
25
i;
(i)
142
85
+
44
85
i;
(j)
4
5
+
7
5
i;
Zad3.
(a)
h
p
2
2
+
2
i;
2
2
i
i
;
(b)
[2+2i;22i];
(c)
;
(d)
;
(e)
;
(f)
;
Zad4.
(a)
[x=1;y=1];
(b)
[x=5;y=17];
(c)
brakrozwi¡za«wR;
(d)
[x=1;y=2];
(e)
[x=2;y=3];
(f)
[x=1;y=6];
Zad5.
2
;
(b)
z
1
=2i;z
2
=2+i;
(c)
z=
7
5
i
9
5
;
(d)
z=
45
73
i
99
73
;
(e)
z
1
=23i;z
2
=3i+2;
(f)
z=
1
2
i+
5
6
;
(g)
z
1
=z
2
=z
3
=2i;
(h)
z
1
=2i;z
2
=2i;z
3
=1;z
4
=1;
(i)
z
1
=
i
2
;z
2
=
i
2
;z=1;
(j)
z
1
=
3
p
2
p
3i
2
;z
2
=
1
2
+
p
3i
p
3i+1
2
i
3
p
2
2
; z
2
=
3
p
2
p
3i1
2
i
3
p
2
2
; z
3
=
3
p
2
p
3i+1
2
3
p
2
2
i; z
4
=
3
p
2
p
3i1
2
i+
3
p
2
2
;
2
; z
6
=1;
(l)
z
1
=i4; z
2
=i+4; z
3
=i2; z
4
=2i;
(m)
z
1
=4; z
2
=2; z
3
=i1; z
4
=i1;
(n)
z
1
=1i;z
2
=i+1;z
3
=2;
(o)
z
1
=3;z
2
=i;z
3
=i;
(p)
z
1
=
3
5
i
6
5
; z
2
=i+1;
2
; z
2
=
2
; z
3
=1; z
4
=
2
; z
5
=
Zad6.
(a)
5;
(b)
p
7;
(c)
p
197;
(d)
p
26;
(e)
1;
(f)
p
26;
(g)
1
4
;
(h)
2
3
;
(i)
1
6
;
(j)
arctan
5
2
1:19;
(k)
arctan
p
32
0:262;
(l)
arctan
2
p
3
2:88;
p
p
3
2
1
(m)
i+
3
1
2
;
(n)
13i;
(o)
i1;
(p)
1
13
5
13
i;
Zad7.
(a)
Niechz
1
=x
1
+iy
1
orazniechz
2
=x
2
+y
2
i.Wtedy
jz
1
z
2
j=j(x
1
+y
1
i)(x
2
+y
2
i)j=j(x
1
y
2
+x
2
y
1
)iy
1
y
2
+x
1
x
2
j
(x
1
x
2
y
1
y
2
)
2
+(x
1
y
2
+x
2
y
1
)
2
=
p
y
1
2
y
2
2
+x
1
2
y
2
2
+x
2
2
y
1
2
+x
1
2
x
2
2
=
p
y
1
2
+x
1
2
p
y
2
2
+x
2
2
=jz
1
jjz
2
j:
q
=
Zad8.
(a)
z
1
=3; z
2
=0; z
3
=
3
2
+
3
p
3
2
i; z
4
=
3
2
3
p
3
2
i;
(b)
z=1+4i;
(c)
z
1
=k; z
2
=2+ki k 2R;
(d)
z=k; k 2R;
Zad9.
(a)
3;
(b)
4+4
p
3i;
(c)
p
3i;
(d)
p
2
2
+
p
2
2
i;
(e)
1
2
2
i;
(f)
p
3
2
1
2
i;
Zad10.
PolitechnikaSzczeci«ska
5
12pa¹dziernika2008-20:24
p
2
p
2
p
2
(a)
z
1
=
1
2
(k)
z
1
=
p
3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]