Zasada najmniejszego dzialania w fizyce, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zasada najmniejszego działania w fizyce
referatwygłoszonynakonferencji:
AroundCalculusofVariations,29.08-01.09.2007,MałeCichekołoZakopanego
PiotrMigdał
13pa¹dziernika2007
W obecnym stanie ten artykuł jest notatk¡ na brudno tego, co wygłosiłem na konferencji. Niemniej, mo»e
si¦ przyda¢ do wygłoszenia referatu b¡d¹ do bardzo krótkiego wprowadzenia do mechaniki klasycznej.
Inaczej ni» to zwykle bywa (w standardowym wprowadzeniu), zakładam matematyczne zaci¦cie słuchaczy,
przy ich tylko licealnej wiedzy z fizyki.
1Słówkookonwencji
Fizycy cz¦sto oznaczaj¡ ró»niczkowanie po czasie danej wielko±ci przez stawianie kropki nad ni¡. Operacj¦
postawienia kropki nad mo»na iterowa¢ — w szczególno±ci dwie kropki oznaczaj¡ pochodn¡ drugiego rz¦du.
Tym samym oznaczamy
x
:=
dx
dt
,
x
:=
d
2
x
dt
2
.
W mechanice klasycznej cz¦sto pojawiaj¡ si¦ wektory — elementy
n
-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
(R
n
). By zaznaczy¢, »e dana wielko±¢ jest wektorem, stawia si¦ nad ni¡ strzałk¦, lub pisze pogrubion¡
czcionk¡. My wybierzemy to drugie
x
:= (
x
1
,x
2
,...,x
n
)
.
Przez ró»niczkowanie funkcji
f
daj¡cej warto±ci rzeczywiste po wektorze rozumiemy gradient, czyli
@f
@
x
:=
@x
1
,
@f
@x
2
,...,
@f
.
@x
n
2Powtórkazliceum
Jednym z najwa»niejszych postulatów fizyki klasycznej jest
IIprawoNewtona
. Sformułujmy je nast¦puj¡co:
Przyspieszenie ¨
x
doznawane przez ciało jest wprost proporcjonalne do siły
F
na nie działaj¡cej i
odwrotnie proporcjonalne do jego masy
m
.
Te prawo mo»emy zapisa¢ w sposób nast¦puj¡cy
m
¨
x
=
F
.
(1)
1
@f
Przyjmiemy, »e masa
m
jest stała, za± siła
F
mo»e zale»e¢ zarówno od poło»enia
x
, jak i czasu
t
. Dodat-
kowo, ograniczmy si¦ do przypadku, w którym siła jest
potencjalna
(tzn. jest gradientem pewnej funkcji).
Zało»enie to nie jest przesadnie mocne, gdy» zarówno w siła elektryczna w elektrostatyce, jak siła ci¦»ko±ci
w newtonowskiej grawitacji jest potencjalna.
Zatem, oznaczaj¡c potencjał liter¡
V
, zapisujemy
F
=
−
@V
@
x
.
(2)
3Lagran»jan
Zabierzmy si¦ za przekształcanie równania ruchu (1) z sił¡ potencjaln¡ (2)
m
¨
x
=
−
@V
@
x
(3)
d
dt
@
@
˙
x
1
2
m
˙
x
2
=
@
@
x
(
−
V
)
.
Dostaniemy dokładnie to samo w obu nawiasach, gdy wstawimy w nich
L
:=
1
2
m
˙
x
2
−
V,
(4)
gdy» ró»niczkowanie po pr¦dko±ci wyzeruje
V
, a branie pochodnej po poło»eniu zabije wyraz ˙
x
.
Zaraz, zaraz — wła±nie otrzymali±my
równanieEulera-Lagrange’a
d
dt
@
˙
x
=
@L
@
x
.
(5)
Jak pami¦tamy, jest ono równowa»ne stwierdzeniu, »e funkcjonał
S
(
x
(
t
)) =
Z
t
1
L
(
t,
x
(
t
)
,
˙
x
(
t
))
dt
(6)
t
0
dla ustalonych czasów i poło»e« kra«cowych (t.j.
t
0
,
x
0
=
x
(
t
0
),
t
1
i
x
0
=
x
(
t
1
)) osi¡ga punkt stacjonarny
(czyli jego pochodna w ka»dym kierunku jest zerem).
Tym samym doszli±my do wniosku, »e równania Newtona (3) s¡ równowa»ne pewnemu problemowi waria-
cyjnemu
S
(
x
(
t
)) = 0.
Jeszcze chwilka odno±nie nazewnictwa
L
(4) nazywamy
lagran»janem
lub
funkcj¡Lagrange’a
,
wyraz
1
2
m
˙
x
2
nazywamy
energi¡kinetyczn¡
i zwykle oznaczamy liter¡
T
,
funkcj¦
V
nazywamy
potencjałemuogólnionym
,
funkcjonał
S
(6) nazywamy
działaniem
.
Co warto zaznaczy¢, w mechanice newtonowskiej (czyli niekwantowej, i nierelatywistycznej) przekształcenie
równania ruchu Newtona (3) do równania Eulera-Lagrange’a (5) nie tylko wygl¡da jak sztuczka matematycz-
na. Ono po prostu jest sztuczk¡ matematyczn¡. W szczególno±ci po to potencjał nazwali±my uogólnionym,
by móc wciska¢ do niego cokolwiek, byleby odtworzy¢ zadane równania ruchu.
2
@L
 4Zasadanajmniejszegodziałania
Zasad¦ mówi¡c¡, »e działanie
S
(zdefiniowane w (6)) osi¡ga swój punkt stacjonarny na prawdziwych tra-
jektoriach nazywa si¦
zasad¡Hamiltona
lub
zasad¡najmniejszegodziałania
. To drugie okre±lenie, cz¦±ciej
stosowane, jest niefortunne — w ogólno±ci punkt stacjonarny nie musi by¢ przecie» minimum. Co± w tej
nazwie jednak siedzi — działanie mo»e by¢ minimum lub punktem siodłowym, ale nigdy punktem przegi¦cia
ani maksimum.
W dalszej cz¦±ci artykułu postaram si¦ unaoczni¢ i udowodni¢ powy»sze stwierdzenie.
4.1Cz¡stkawpustejprzestrzeni—minimumdziałania
Przyjmijmy nast¦puj¡ce dane (z lenistwa przyjmuj¡c
m
= 2)
L
= ˙
x
2
|{z}
T
−
0
|{z}
V
,
t
0
= 0
,
x
0
= (0
,
0
,
0)
,
(7)
t
1
= 1
,
x
1
= (1
,
0
,
0)
.
Je±li podstawimy warunki (7) do równa« Eulera-Lagrange’a dostaniemy, pewnie bez dziwienia, ruch jedno-
stajny prostoliniowy
x
(
t
) = (
t,
0
,
0)
.
(8)
Bez wi¦kszego trudu liczmy, »e dla tej ruchu działanie jest równe 1.
Poka»emy, »e dla ka»dego innego ruchu działanie jest wi¦ksze.
Z
1
Z
1
Z
1
2
S
=
˙
x
2
dt
­
x
2
1
dt
­
x
1
dt
= 1
0
0
0
Wykorzystali±my fakt, »e usuni¦cie wyrazów nieujemnych nie zmniejsza wyniku oraz nierówno±¢ mi¦dzy
±redni¡ kwadratow¡ a arytmetyczn¡
1
. W drugim oszacowaniu równo±¢ zachodzi wył¡cznie dla funkcji stałej
(je±li bierzemy pod uwag¦ tylko funkcje ci¡głe).
4.2Potencjałwkształcierynny—punktsiodłowydziałania
Przyjmijmy tym razem potencjał w kształcie rynny i mas¦ równ¡ 1
L
=
1
2
˙
x
2
|{z}
T
−
kx
2
2
|{z}
V
,
t
0
=
−
1
,
x
0
= (
−
1
,
0
,
0)
,
(9)
t
1
= 1
,
x
1
= (1
,
0
,
0)
.
Korzystaj¡c z równa« Eulera-Lagrange’a (5) dochodzimy do wniosku, »e jedna z mo»liwo±ci to ruch jedno-
stajny prostoliniowy wzdłu» rynny. Policzmy działanie
x
a
(
t
) = (
t,
0)
,
Z
1
S
(
x
a
(
t
)) =
2
dt
= 1
.
(10)
−
1
q
R
1
1
alboznierówno±¢Schwartza
0
˙
x
2
1
dt
R
1
0
1
dt
­
R
1
0
˙
x
1
dt
3
1
Spróbujmy ten ruch zaburzy¢ dodaj¡c do współrz¦dnej
x
1
lub
x
2
pewien dodatkowy wyraz. Oczywi±cie
nie mo»emy zapomnie¢ warunku, by owe zaburzenia pozostawiły punkty pocz¡tkowe i ko«cowe bez zmian.
Zwykle powstałe w ten sposób funkcje nie b¦d¦ rozwi¡zaniami równania ruchu.
x
b
(
t
) = (
t
+
"
cos(
2
t
)
,
0)
,
Z
1
2
(1
−
"
2
sin(
2
t
))
2
dt
= 1 +
2
S
(
x
b
(
t
)) =
1
8
"
2
.
(11)
−
1
Czyli funkcja
x
a
(
t
) nie jest lokalnym maksimum działania (ani punktem przegi¦cia).
x
c
(
t
) = (
t,"
cos(
2
t
))
,
Z
1
2
1
2
−
k
(
"
cos(
2
t
))
2
dt
= 1 +
8
−
k
S
(
x
c
(
t
)) =
"
2
.
(12)
2
−
1
Tym razem sytuacja zale»y od stałej
k
. We¹my dostatecznie du»e
k
tak, by działanie w (12) było mniejsze
od 1. Tym samym funkcja
x
a
(
t
) nie jest lokalnym minimum działania.
Mówi¡c innymi słowami - mamy przed sob¡ przykład, w którym realna funkcja opisuj¡ca ruch cz¡stki jest
punktem siodłowym działania.
4.3Adlaczegoniemaksimum?
Od konkretnego przykładu ciekawsze bywaj¡ dowody. Zaczn¦ od prostszego, mówi¡cego »e gdy potencjał
V
nie zale»y od czasu, punkt stacjonarny funkcjonału
S
nie jest maksimum globalnym.
4.3.1Dlaczegoniemaksimumglobalne—przebiegamytras¦trzyrazy
Bez starty ogólno±ci przyjmijmy, »e rozwa»anym przedziałem czasowym jest [0
,
1]. Przyjmijmy, »e
V
nie
zale»y w sposób jawny od czasu. Rozumujmy nie wprost — niech
x
(
t
) b¦dzie maksimum globalnym działania.
Spróbujmy przeby¢ t¡ sam¡ tras¦ trzy razy szybciej w nast¦puj¡cy sposób
x
(0)
!
x
(1)
!
x
(0)
!
x
(1)
.
Konkretnie, rozwa»my nast¦puj¡c¡ funkcj¦
8
<
x
(3
t
)
0
¬
t <
1
3
,
x
M
(
t
) =
:
3
¬
t <
2
3
,
x
(
−
2 + 3
t
)
2
3
¬
t
¬
1
.
1
(13)
Co mo»e nas niepokoi¢, funkcja zdefiniowana w (13) ma nieci¡gł¡ pochodn¡ w dwóch punktach. Nie jest
to szczególnie straszna rzecz — w działaniu (6) nie ma wyrazów zale»nych od przyspieszenia ani dalszych
pochodnych. Tym samym mo»na postara¢ si¦ wygładzi¢ skoki, tylko nieznacznie zaburzaj¡c funkcjonał.
4
x
(2
−
3
t
)
 Obliczmy działanie
S
(
x
M
(
t
)) =
Z
1
3
1
2
m
d
dt
(
x
(3
t
))
2
−
V
(
x
(3
t
))
dt
0
Z
2
3
1
2
m
d
+
dt
(
x
(2
−
3
t
))
2
−
V
(
x
(2
−
3
t
))
dt
1
3
Z
1
1
2
m
d
+
dt
(
x
(
−
2 + 3
t
))
2
−
V
(
x
(2
−
3
t
))
dt
2
3
Z
1
1
2
m
9 ˙
x
(
t
)
2
−
V
(
x
(
t
))
dt
= 3
·
1
3
0
Z
1
1
2
m
˙
x
(
t
)
2
dt
­
S
(
x
(
t
))
.
=
S
(
x
(
t
)) + 8
0
Okazuje si¦, »e jest równe
S
(
x
(
t
)) wtedy i tylko wtedy, gdy ciało cały czas cały czas spoczywa. Ten szczególny
(cho¢ niezbyt ciekawy) przypadek obejmuje kolejne rozumowanie, wi¦c nie zaprz¡tajmy sobie nim głowy.
4.3.2Dlaczegonawetniemaksimumlokalne—zacznijmydr»e¢
Mamy dany pewien lagran»jan
L
oraz funkcj¦
x
(
t
) spełniaj¡c¡ równanie Eulera-Lagrange’a (dla wygody
oblicze«, czasy pocz¡tkowe i ko«cowe to
−
i
). Poka»emy, »e owa funkcja nie jest maksimum działania
S
. Zacznijmy od zmiany parametryzacji — niech parametrem przebiegaj¡cym wzdłu»
x
(
t
) b¦dzie
y
(
t
). Do-
datkowo, niech
|
y
(
t
)
|
=
|
˙
x
(
t
)
|
. Oczywi±cie, nowa parametryzacja mo»e nie by¢ jednoznaczna (w wypadku
samoprzeci¦¢
x
(
t
)), jednak to w niczym nam nie przeszkadza.
We¹my teraz zaburzony ruch, dla pewnego
"
(niekoniecznie dodatniego) oraz dla
n
całkowitego dodatniego.
y
M
(
t
) =
y
(
t
) +
"
n
cos(
nt
)
(14)
Mówi¡c opisowo o (14), przebywamy drog¦ wzdłu» wcze±niej wytyczonej trasy, tym razem trz¦s¡c si¦: to
w przód, to w tył. Mamy nadziej¦ tym sposobem zwi¦kszy¢ przyczynek działania od energii kinetycznej, w
miare mo»liwo±ci nie zmieniaj¡c innych przyczynków.
Z
d
dt
(
y
(
t
) +
n
cos(
nt
))
2
!
S
(
y
n
(
t
)) =
2
m
−
V
(
y
(
t
) +
"
cos(
nt
))
dt
−
1
Z
2
m
y
2
(
t
)
−
2
y
(
t
)
"
sin(
nt
) +
"
2
sin
2
(
nt
)
−
V
(
y
(
t
))
−
@V
(
y
(
t
))
@y
=
−
"
n
cos(
nt
)
−
O
(
"
n
2
cos
2
(
nt
))
dt
Z
Z
2
y
(
t
) sin(
nt
) +
@V
(
y
(
t
))
@y
cos(
nt
)
n
=
S
(
y
(
t
)) +
1
2
m"
2
−
"
−
O
(
"
n
2
cos
2
(
nt
))
dt.
(15)
−
−
.
Warto na chwile zastanowi¢ si¦, co mamy takiego w (15). Wyraz zale»¡cy liniowo od
"
musi si¦ zerowa¢ —
przecie»
y
(
t
) jest punktem stacjonarnym
S
. Wi¦cej komentarza wymaga całkowanie ogona. Skoro potencjał
jest ograniczony wzdłu»
y
(
t
) (a tak»e nieznacznie poza ko«cami), to dla ka»dego punktu
y
jego przesuni¦cie
(t.j.
V
(
y
(
t
) +
"
cos(
nt
))
−
V
(
y
(
t
))) jest sko«czone. Co wi¦cej, przesuni¦cia s¡ ograniczone, a zatem i całka
jest sko«czona. Tym samym, dla
n
! 1
ogon znika. Zatem mo»emy wybra¢ takie
n
0
, »e
c
jest dowolnie
5
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]