Zadania1(1), Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zadanie1.
Rozwi¡za¢ nierówno±ci:
a) 2(
x
+ 3) + 5
<
3(2
x
−
7)
−
2
b) 2
x
+
1
x
−
2
¬
10 +
1
x
−
2
x
−
1
>
2
d)
2
x
−
1
­
1
x
e)
2
x
+1
2
x
−
5
<
0
f)
3
x
−
2
Zadanie2.
Rozwi¡za¢ równania i nierówno±ci modułowe:
a)
|
x
−
2
|
= 5
b)
|
x
+ 1
|
=
−
1
c)
|
2
x
−
1
|
=
|
x
−
3
|
d)
|
4
x
−
5
2
x
+7
|
<
3
e)
4
x
+1
2
x
−
3
>
2
f)
|
x
+ 1
|
+ 2
|
x
−
1
|
= 5
g)
|
x
+ 1
|
+
|
2
x
−
5
|
<
9
h)
|
2
x
−
5
x
+3
|
>
1
Wskazówki:
1. Prosz¦ przypomnie¢ sobie definicj¦ warto±ci bezwzgl¦dnej.
2. dlab>
0
jest
{
x
:
|
x
−
a
|
<b
}
=
{
x
:
a
−
b<x<a
+
b
}
.
3. dlab>
0
jest
{
x
:
|
x
−
a
|
>b
}
=
{
x
:
x<a
−
b
}[{
x
:
x>a
+
b
}
.
Przykładowerozwi¡zanie
Rozwi¡za¢ nierówno±¢:
|
4
x
+ 1
2
x
−
3
|
>
2
.
Najpierw zauwa»amy, »e
x
6
=
3
2
. Zgodnie ze
wskazówk¡ nr 3
mamy
4
x
+ 1
2
x
−
3
>
2 lub
4
x
+ 1
2
x
−
3
<
−
2
.
7
2
x
−
3
>
0
.
St¡d 2
x
−
3
>
0, zatem
x>
3
2
. Nast¦pnie rozwi¡zujemy nierówno±¢ praw¡.
Otrzymujemy
8
x
−
5
2
x
−
3
<
0
.
1
c)
1
x
+1
>
2
Rozwi¡zujemy nierówno±¢ lew¡: otrzymujemy po sprowadzeniu do wspólnego
mianownika:
 Aby nierówno±¢ była spełniona licznik i mianownik musz¡ by¢ ró»nych zna-
ków. W pierwszym przypadku
(
8
x
−
5
<
0
2
x
−
3
>
0
,
co daje zbiór pusty. W drugim przypadku
(
8
x
−
5
>
0
2
x
−
3
<
0
,
co daje
5
8
<x<
3
2
.
Podsumowuj¡c otrzymujemy
x
6
=
3
2
i (
x>
3
2
lub
5
8
<x<
3
2
). Zatem osta-
tecznie
x
2
(
5
8
,
1
)
\{
3
2
}
.
Zadanie3.
Rozwi¡za¢ nierówno±ci kwadratowe:
a)
x
2
−
4
x
+1
<
−
4
c) 1
<
2
x
2
−
7
x
−
29
x
2
−
2
x
−
15
<
2
Wskazówka:
1. Wszystkie wyra»enia przenie±¢ na jedn¡ stron¦ nierówno±ci (po drugiej
stronie
0
) i sprowadzi¢ do wspólnego mianownika.
2. Policzy¢
zarówno dla licznika jak i mianownika.
3. Uwaga: Je±li wielomian stopnia 2 nie ma miejsc zerowych (
<
0
), to
jest on stale dodatni lub stale ujemny w zale»no±ci od współczynnika przy
najwy»szej pot¦dze zmiennej (dla przykładu wielomian
−
2
x
2
+
x
−
3
jest stale
ujemny).
4. Je±li licznik i mianownik maj¡ miejsca zerowex
1
,x
2
,...,x
n
, to mo»na
przedstawi¢
R
jako
(
−1
,x
1
)
,x
1
,
(
x
1
,x
2
)
,...,x
n
,
(
x
n
,
1
)
i zastanowi¢ si¦ ja-
kie znaki przyjmuje całe wyra»enie w tych przedziałach i punktach - kiedy
jest ujemne, kiedy dodatnie, kiedy ma asymptot¦ pionow¡ (mianownik równy
zeru) - najlepiej za pomoc¡ tabelki, tak jak robili Pa«stwo na ¢wiczeniach.
St¡d ju» b¦dzie łatwo wida¢, kiedy cało±¢ jest wi¦ksza czy mniejsza od zera,
wi¦c tym sposobem wyznaczymy interesuj¡ce nas przedziały.
Zadanie4.
Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji:
a)
f
(
x
) = sin
x
b)
f
(
x
) = cos
x
c)
f
(
x
) = tg
x
2
x
2
−
5
x
+4
>
0
b)
13
x
−
3
−
3
1
−
p
x
+5
Zadanie5.
Narysowa¢ wykresy funkcji:
f
(
x
),
f
(
|
x
|
),
|
f
(
x
)
|
,
|
f
(
|
x
|
)
|
,
f
(
x
+3),
−
f
(
x
) + 1, gdzie
a)
f
(
x
) =
x
b)
f
(
x
) =
x
3
−
1
c)
f
(
x
) =
p
x
+ 4
d)
f
(
x
) =
x
2
−
4
x
−
3
3
d)
f
(
x
) = ctg
x
e)
f
(
x
) = arcsin
x
f)
f
(
x
) = arccos
x
g)
f
(
x
) = arctan
x
h)
f
(
x
) =
e
x
i)
f
(
x
) = l
og
x
j)
f
(
x
) =
4
x
2
−
2
2
x
8
x
k)
f
(
x
) =
e
log(
x
+1)+3
log
(
x
−
1)
l)
f
(
x
) =
log
x
2
−
1
(
x
2
+2
x
)
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]